最佳答案离散数学课后习题答案解析1.证明下列命题： 命题1：集合A,B,C互不相交，则(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。 证明： 我们可以利用等价式证明此命题。该命题中的等式两边分别是(A∪B)∩C和...
离散数学课后习题答案解析
1.证明下列命题：
命题1：集合A,B,C互不相交，则(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
证明：
我们可以利用等价式证明此命题。该命题中的等式两边分别是(A∪B)∩C和(A∩C)∪(B∩C)。我们需要证明的是等号两边完全相等。
首先证明左侧包含右侧。对任意的x∈(A∩C)∪(B∩C)，有：
- 若x属于A∩C，则x同时属于(A∪B)∩C。
- 若x属于B∩C，则x同时属于(A∪B)∩C。
由此我们有(A∩C)∪(B∩C)包含于(A∪B)∩C，即证明完毕。
接下来证明右侧包含左侧。对任意的x∈(A∪B)∩C，有：
若x属于C，则x同时属于A∩C或B∩C，因此x属于(A∩C)∪(B∩C)。
由此我们有(A∪B)∩C包含于(A∩C)∪(B∩C)，即证明完毕。因此，原命题成立。
2.计算下列集合的笛卡尔积：
集合A：{1,4}；集合B：{a,b,c}。
解答：
集合A和集合B的笛卡尔积定义如下：
A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}。
根据上述定义，我们得到：
A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(4,a),(4,b),(4,c)}。
3.讨论怎样的函数是可逆的。
解答：
在函数的定义域和值域中各选取一组元素(x1,y1)和(x2,y2)。若有：
f(x1)=y1，f(x2)=y2，并且y1≠y2，
则函数不是一一的，也就不可能是可逆的。换言之，若f(x1)=f(x2)，则x1和x2可能相等，但不一定相等。
若函数f是可逆的，则对于任意一个y∈Y，都有唯一的x∈X，满足f(x)=y。也就是说，对于不同的y1和y2，函数f必须有不同的x1和x2，使f(x1)=y1，f(x2)=y2。
综上所述，对于一个函数f是可逆的当且仅当它是一一的。此时，其逆函数f-1也是唯一的。
